题目内容
(请给出正确答案)
[主观题]
若α1,···,αn是Rn的一组标准正交基,A是n阶正交矩阵,证明:Aα1,Aα2,···,Aαn是Rn的一组标准正交基。
答案
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第1题
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
第3题
欧氏空间V中的线性变换称为反称的,如果对任意,α,β∈V,证明:
1)为反称的充分必要条件是,在一组标准正交基下的矩阵为反称的;
2)如果V1是反称线性变换的不变子空间,则也是。
第5题
设二次型记a=
(1)证明二元型f对应的矩阵为
(2)若α、β正交且均为单位向量,证明二次型/在正交变换下的标准形为二次型
第6题
证明实系数线性方程组有解的充要条件是向量β=(b1,b2,···,bn)∈Rn与齐次线性方程组的解空间正交。
第8题
设f(x1,x2,···,xn)=X'AX是一实二次型,λ1,λ2,···,λn是A的特征多项式的根,且λ1≤λ2≤···≤λn。证明:对任一X∈Rn,有
第9题
证明:设A,B都是n阶正交方阵,则
(1)|A|=1或-1(2)AT,A-1,AB也是正交方阵。
(2) A正交方阵,得ATA=E,由AAT=E得AT正交方阵。又A-1=AT, 故A-1正交方阵。A,B是n阶正交矩阵,故A-1=AT,B-1=BT。(AB)T(AB) =BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交方阵。
第11题