S=（a,b)，+和×两个二元运算定义如下表。在代数（S,-1,×)中，+对×可分配吗？×对+呢？

设S=QXQ，其中Q为有理数集合，定义S上的二元运算*，＜a，b＞，＜x，y＞∈S有

令S={a,b},S上有4个二元运算:*,o,·和□,分別由表10.8确定

(1)这4个运算中哪些远算满足交换律,结合律,幂等律

(2)求每个运算的单位元,零元及所有可递元素的逆元

么说一个关系的性质在该集合运算下是保持的。例如自反性质在二元运算并之下是保持的，因为两个自反关系的并是自反的。然而，自反性质在集合的求补运算下是不保持的，因为一个非空集合上的一个自反关系的绝对补不是一个自反关系。按照在指出的集合运算下给出的性质是否保持，填充下表。对每一非(N)的回答，给出反例。

设一元函数f(x)在[a,b]上可积，。 定义二元函数

“后继者”概念的术语加以定义。例如，加法运算能归纳地定义如下：

①对每个自然数m，m+0=m;

②对每一对自然数m和n，m+n'=(m+n)'，

(a)证明用以上定义的加法是可结合的。

(b)用类似方法归纳地定义乘法(可以引用上边定义的加法运算)。

(c)用乘法运算归纳地定义幂运算。

(d)给出关于“小于”的一个归纳定义。

算称为（）。

A)并运算

B)交运算

C)差运算

D)积运算

设V=＜S，*＞，其中S={a，b，c}，*的运算表如表9-3所示。

分别对以上每种情况讨论*运算的可交换性，幂等性，是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元。

记集合{0,1,2,...,k-1}(k为正整数)为N_A定义N_A上的模k加运算+_k和模k乘运算x_k:

其中表示商的整数部分考虑代数结构,向下列集合及集合上的运算是否构成以上3个代数结构的子代数.

(1){0,2}与+₆,{0,2}与x₆

(2){0,3}与+₆,{0,3}与x₆

(4){0,1}与+₆,{0,1}与x₆

(5){0,1,3,5}与+₆,{0,1,3,5}与X₆