设矩阵矩阵B（E+A)k，其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵A，使B与A相似；并求k是为何值时，为正定

用E_ij表示i行j列的元素为1，而其余元素全为零的nxn矩阵，A=(a_ij)_nxn。证明：

1)如果AE₁₂=E₁₂A，那么当k≠1时a_k1=0，当k≠2时a_2k=0;

2)如果AE_ij=E_ijA，那么当k≠i时a_ki=0，当k≠j时a_jk=0，且a_ii=a_jj;

3)如果A与所有的n级矩阵可交换，那么A一定是数量矩阵，即A=aE。

证明：反称实矩阵正交相似于准对角矩阵

其中b_i(i=1，...，s)是实数。

求下列线性变换在所指定基下的矩阵：

1)在P³中，，在基ε₁=(1，0，0)，ε₂=(0，1，0)，ε₃=(0，0，1)下的矩阵;

2)[O，ε₁，ε₂]是平面上一直角坐标系，是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，是平面上的向量对ε₂的垂直投影，求在基ε₁，ε₂下的矩阵;

3)在空间P[x]_n中，设变换为f(x)→f(x+1)-f(x)。求在基

下的矩阵;

4)六个函数

的所有实系数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换在基ε_i(i=1，2，...，6)下的矩阵;

5)已知P³中线性变换在基η₁=(-1，1，1)，η₂=(1，0，-1)，η₃=(0，1，1)下的矩阵是

求在基ε₁=(1，0，0)，ε₂=(0，1，0)，ε₃=(0，0，1)下的矩阵;

6)在P³中，定义如下：

求在基ε₁=(1，0，0)，ε₂=(0，1，0)，ε₃=(0，0，1)下的矩阵;

7)同上，求在η₁，η₂，η₃下的矩阵。

(1)适当选取标架,求出位似τ的公式;

(2)证明位似是仿射变换:

(3)证明位似保持角度不变;

(4)证明位似可以分解成某两个伸缩的乘积.

设A为三阶矩阵，a₁，a₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a₃满足

(1)证明a₁，a₂，a₃线性无关;

(2)令P=(a₁，a₂，a₃)，求P^-1AP。

设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

1)求在基

下的矩阵;

2)求的特征值与特征向量;

3)求一可逆矩阵T，使T^-1AT成对角形。