设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函

设V和W都是数域F上的向量空间，且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基：α₁，···，α_s，α_s+1，...，α_n，使得α₁，···，α_s是Ker(σ)的一个基。证明：(i)σ(α_s+1)，...，σ(α_n)组成Im(σ)的一个基；

(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。

判别下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

1)在线性空间V中，其中α∈V是一固定的向量;

2)在线性空间V中，其中α∈V是一固定的向量;

3)在P³中;

4)在P³中;

5)在P[x]中;

6)在P[x]中，其中x₀∈P是一固定的数;

7)把复数域看作复数域上的线性空间，

8)在P^nxn中，，其中B，C∈P^nxn是两个固定的矩阵。

求下列线性变换在所指定基下的矩阵：

1)在P³中，，在基ε₁=(1，0，0)，ε₂=(0，1，0)，ε₃=(0，0，1)下的矩阵;

2)[O，ε₁，ε₂]是平面上一直角坐标系，是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，是平面上的向量对ε₂的垂直投影，求在基ε₁，ε₂下的矩阵;

3)在空间P[x]_n中，设变换为f(x)→f(x+1)-f(x)。求在基

下的矩阵;

4)六个函数

的所有实系数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换在基ε_i(i=1，2，...，6)下的矩阵;

5)已知P³中线性变换在基η₁=(-1，1，1)，η₂=(1，0，-1)，η₃=(0，1，1)下的矩阵是

求在基ε₁=(1，0，0)，ε₂=(0，1，0)，ε₃=(0，0，1)下的矩阵;

6)在P³中，定义如下：

求在基ε₁=(1，0，0)，ε₂=(0，1，0)，ε₃=(0，0，1)下的矩阵;

7)同上，求在η₁，η₂，η₃下的矩阵。

设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{α₁，α₂，α₃}的矩阵是。求σ关于基

的矩阵。设ξ=2α₁+α₂-α₃。求σ(ξ)关于基β₁，β₂，β₃的坐标。

设f(x)，g(x)是数域P上两个不全为零的多项式。令

证明：存在m(x)∈S，使

设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足

则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足

则称为V的一个准正交变换。试证：

1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;

2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;

3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;

4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：

(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并验算T^-1AT。

令f₁(x)，f₂(x)，g₁(x)，g₂(x)都是数域F是上的多项式，其中f₁(x)≠0且g₁(x)g₂(x)|f₁(x)f₂(x)，f₁(x)|g₁(x)，证明：g₂(x)|f₂(x)。