设Q（x,y)在xy平面上具有连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有求Q（x,y)。

设D为两条直线y=x，y=4x和两条双曲线xy=1，xy=4所围成的区域，F(u)是具有连续导数的一元函数，记。证明

其中的方向为逆时针方向。

设f(x,y)具有连续偏导数,且满足求.

设函数在R³上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲面∑，成立

设函数在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程

证明：为常数。

设证明:当时,u,v可以用采作为曲线坐标;解出x,y作为u,v的函数;曲出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算并验证它们互为倒数.

设两个实变数的函数u(x,y)有偏导数，这一函数可写成z=x+iy及z的函数

再把z和z看作是相上独立的，证明:

设复变函数f(z) 的实部及虚部分别是u(x,y)及v(x,y),并.它们都有偏导数。求证:对于f(z),柯西黎曼条件可写成

设x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y)分别是由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数.证明:

[说明偏导数的记号不能看成商式]

注:认为定理12-3的条件都满足.

设f(x)有二阶连续导数，f(π)=2，求f(0)。

设方程F(x,yz)=0确定隐函数z=z(x,y),求注:做这类题时,作为约定:总认为其中函数F满足链式规则的条件,而且混合偏导数与求导次序无关.