设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a(эz/эx)+b(эz/эy)=c
设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a(эz/эx)+b(эz/эy)=c
设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a(эz/эx)+b(эz/эy)=c
第1题
设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:
其中、世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号称维拉普拉斯算子.
第2题
设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,依次表示u(x,y,z)、v(x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明
其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式.
第5题
证明如果函数u=f(x,y)满足
式中A,B,C都是常数,且f(x,y)具有连续的三阶偏导数,那么函势电满足这个方程。
第8题
设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足δ^2f/δu^2+δ^2f/δv^2=1,
又g(x,y)=f[xy,(x^2-y^2)/2],
求δ^2g/δx^2+δ^2g/δy^2.
第9题
设z=z(x,y)由方程F(x+y,y+z)=1所确定,其中F具有连续二阶偏导数,且F2不等于0,求∂^2z/∂y^2
第10题
设有界闭区域Ω由光滑曲面S所围成.函数u(x,y,z)在Ω及S上有二阶连续偏导数,n为S的单位外法向量.证明以下公式
设有界闭区域Ω由光滑曲面S所围成.函数u(x,y,z)在Ω及S上有二阶连续偏导数,n为S的单位外法向量.证明以下公式成立:
第11题
u、v都是x、y、z的函数,u、v各偏导数都存在且连续,证明:
(1)grad(u+v)=gradu+gradv
(2)grad(uv)=vgradu+ugradv
(3)grad(u2)=2ugradu