设A为3阶矩阵，为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a₁满足

设A为三阶矩阵，a₁，a₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a₃满足

(1)证明a₁，a₂，a₃线性无关;

(2)令P=(a₁，a₂，a₃)，求P^-1AP。

设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

1)求在基

下的矩阵;

2)求的特征值与特征向量;

3)求一可逆矩阵T，使T^-1AT成对角形。

已知矩阵的特征值λ₁=λ₂=3，λ₃=12，求x的值，并求矩阵A特征向量。

设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足

则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足

则称为V的一个准正交变换。试证：

1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;

2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;

3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;

4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足

证明：设A，B都是n阶正交方阵，则

(1)|A|=1或-1(2)A^T，A^-1，AB也是正交方阵。

(2) A正交方阵，得A^TA=E，由AA^T=E得AT正交方阵。又A^-1=A^T， 故A^-1正交方阵。A，B是n阶正交矩阵，故A^-1=A^T，B^-1=B^T。(AB)^T(AB) =B^TA^TAB=B^-1A^-1AB=E， 故AB也是正交方阵。

设f(x)在R上有定义，h＞0为常数，称为f(x)的步长为h的一

阶差分。

(1)证明：(c为常数)，

(2)若定义是f(x)的步长为h的n阶差分，用数学归纳法证明：

设二次型记a=

(1)证明二元型f对应的矩阵为

(2)若α、β正交且均为单位向量，证明二次型/在正交变换下的标准形为二次型

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：

(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并验算T^-1AT。

设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{α₁，α₂，α₃}的矩阵是。求σ关于基

的矩阵。设ξ=2α₁+α₂-α₃。求σ(ξ)关于基β₁，β₂，β₃的坐标。