设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
设V是数域P上n维线性空间,σ是V的可逆线性变换,W是σ的不变子空间,证明:W也是σ-1的不变子空间.
第1题
设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
第3题
判别下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:
1)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
2)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
3)在P3中;
4)在P3中;
5)在P[x]中;
6)在P[x]中,其中x0∈P是一固定的数;
7)把复数域看作复数域上的线性空间,
8)在Pnxn中,,其中B,C∈Pnxn是两个固定的矩阵。
第4题
设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。
第5题
第6题
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
第7题
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
第8题
设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。
第9题
设是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,W表示由W中向量的像组成的子空间,证明:
第10题
设ε1,ε2,ε3,ε4是四维线性空间V的一组基,线性变换在这组基下的矩阵为
1)求在基
下的矩阵;
2)求的特征值与特征向量;
3)求一可逆矩阵T,使T-1AT成对角形。
第11题
V是n维复线性空间,是V上线性变换,证明:的若尔当标准形矩阵中若尔当块的数目等于V中的线性无关的特征向量的最大数目。